Wzory

1.Kwadrat sumy

 (a+ b)²⁼ a²+2ab+b²

Wzór ten jest skróceniem obliczeń :

(a+ b)²=(a+ b)(a+ b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b²

Zobaczmy jak kwadrat sumy działa w praktyce:

(x+4)²  =x² +2⋅x⋅4+4² =x² +8x+16 

(1+2x)²=1²+2⋅1⋅2x+(2x)² =1+4x+4x²

(2+√3)² =2² +2⋅2⋅√3+√3² =4+4√3+3=7+4√3



2. Kwadrat różnicy

(a- b)² =a²-2ab+b²

Wzór ten jest skróceniem obliczeń:

(a−b)²=(a−b)⋅(a−b)=a² −ab−ab+b²=a²−2ab+b²

Zobaczmy jak kwadrat różnicy działa w praktyce:

(x−3)²=x²−2⋅x⋅3+3²=x²−6x+9 

(2−½x)²=2²−2⋅2⋅½²x+(½x)²=4−2x+¼ x²

(2√2−3)²=(2√2²−2⋅2√2⋅3+3²=2²⋅√2²−12√2+9=8−12√2+9=
=17−12√2

Można go stosować również w drugą stronę, aby z postaci "rozwiniętej" otrzymać postać "zwiniętą" (przydatne np. przy rozkładzie wielomianów na czynniki):

x² −8x+16=x² −2⋅4⋅x+4² =(x−4) ²

Jeśli mamy do policzenia np. (4−3)² to oczywiście nie stosujemy wzoru skróconego mnożenia, tylko odejmujemy 3 od 4 i podnosimy do kwadratu:

(4−3)²=1² =1

3. Różnica kwadratów   
    

a²-b²=(a-b) ^. (a+b)

Wzór ten jest skróceniem obliczeń:
 

(a−b)⋅(a+b)=a²+ab−ab−b²=a²−b²

Zobaczmy jak wzór na różnicę kwadratów działa w praktyce:

   

4−x²=2²−x²=(2−x)⋅(2+x)

Zazwyczaj w obliczeniach stosuje się ten wzór w drugą stronę, aby z postaci iloczynu przejść na postać różnicy kwadratów:

 

(x−3)⋅(x+3)=x²−3²=x²−9

(1−√5)⋅(1+√5)=1²−√5²=1−5=−4

Suma kwadratów?

 

a²+b²=?

Nie ma wzoru skróconego mnożenia dla sumy kwadratów. Dlaczego? Nie rozkłada się ona na iloczyn. Zatem jeśli mamy np. 1+x2, to tego wyrażenia nie uda nam się zapisać w postaci iloczynu.

4.Sześcian sumy

Sześcian sumy można rozpisać:
 
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Wzór ten jest skróceniem obliczeń:
(a+b)³=(a+b)²⋅(a+b)=…

Stosujemy wzór na kwadrat sumy do pierwszego czynnika:
......=(a²+2ab+b²)⋅(a+b)=a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³=a³+3a²b+3ab²+b³

Zobaczmy jak sześcian sumy działa w praktyce:
(x+4)³=x³ +3⋅x² ⋅4+3⋅x⋅4² +4³ =x³ +12x ² +48x+64

(1+1/2x)²=1³ +3⋅1² ⋅1/2x+3⋅1⋅(1/2x)²+(1/2x)³=
1+1/2x+1/4x²+1/8x³

Jeśli mamy do policzenia np. (2+1)3 to oczywiście nie stosujemy wzoru skróconego mnożenia, tylko dodajemy 2 do 1 i podnosimy do trzeciej potęgi:

(2+1)3=33=27

5.Sześcian różnicy

Sześcian różnicy można rozpisać:

(a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³

Wzór ten jest skróceniem obliczeń:
(a−b)³=(a−b)²⋅(a−b)=....

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy do pierwszego czynnika:…=
(a²−2ab+b²)⋅(a−b)=a³−2a²b+ab²−a²b+2ab²−b³=a³−3a²b+3ab²−b³

Zobaczmy jak sześcian różnicy działa w praktyce:

(x−2)³=x³−3⋅x²⋅2+3⋅x⋅2²−2³=x³−2x²+4x−8

(1−3x)²=1³−3⋅1²⋅3x+3⋅1⋅(3x)²−(3x)³=1−3x+9x²−27x³

Jeśli mamy do policzenia np. (5−3)³ to oczywiście nie stosujemy wzoru skróconego mnożenia, tylko odejmujemy 3 od 5 i podnosimy do trzeciej potęgi:

(5−3)³=23=8

6.Różnica sześcianów
Różnicę sześcianów można rozpisać: 
a³−b³=(a−b)⋅(a²+ab+b²)
Wzór ten uzyskujemy z wymnożenia czynników z prawej strony:
(a−b)⋅(a²+ab+b²)=a³+a²b+ab²−a²b−ab²−b³=a³−b³

Zobaczmy jak różnica sześcianów działa w praktyce:
x³−8=x³−2³=(x−2)⋅(x²+x⋅2+2²)=(x−2)⋅(x²+2x+4)
1−8x³=1³−(2x)³=(1−2x)⋅(1²+1⋅2x+(2x)²)=(1−2x)⋅(1+2x+4x²)
  
Różnicy sześcianów używa się najczęściej przy rozkładzie wielomianów na czynniki.

7.Suma sześcianów  
Sumę sześcianów można rozpisać:
a+b³=(a+b)⋅(a² −ab+b² )

Wzór ten uzyskujemy z wymnożenia czynników z prawej strony:
(a+b)⋅(a² −ab+b² )=a³−a ² b+ab² +a² b−ab² +b³=a³+b³

Zobaczmy jak suma sześcianów działa w praktyce:
x³+27=x³+3³==(x+3)⋅(x²−x⋅3+3²)=(x+3)⋅(x²−3x+9)
1+x³=1³+x³=(1+x)⋅(1²−1⋅x+x²)=(1+x)⋅(1−x+x²)

Sumy sześcianów używa się najczęściej przy rozkładzie wielomianów na czynniki.